一元二次方程是中學數學其中一個重要課題，無論是初中代數、高中數學，還是 DSE Mathematics，都經常會用到 Quadratic Equation 的概念。到底一元二次方程怎樣解？根之和、根之積、配方法和判別式又有甚麼關係？今次 Toby 為大家整理一元二次方程的核心公式、常見解題方法及考試應用，助你更清楚掌握 quadratic equation 的重點。
【Quadratic Equation 一元二次方程】根之和｜根之積｜配方法｜判別式
一元二次方程一般寫成 (ax^2+bx+c=0)，當中 (a\neq0)。解一元二次方程的方法包括因式分解、配方法、公式法和圖像分析；而根之和、根之積可用來快速處理兩根關係，判別式則可判斷方程有多少個實根。學生學 Quadratic Equation 時，不應只背公式，而要明白每個方法適合甚麼題型，尤其是配方法、判別式和根的關係，經常出現在代數變形、求未知數和 DSE 題目之中。
文章重點整理
- 一元二次方程標準式為 (ax^2+bx+c=0)，其中 (a\neq0)
- 解 Quadratic Equation 常見方法包括因式分解、配方法及公式法
- 若方程兩根為 (\alpha)、(\beta)，根之和為 (\alpha+\beta=-\frac{b}{a})
- 根之積為 (\alpha\beta=\frac{c}{a})，常用於求兩根關係或建立方程
- 配方法可把二次式寫成平方形式，常用於求頂點、最值及推導公式
- 判別式為 (b^2-4ac)，可判斷方程有兩個、重複或沒有實根
- 若 (b^2-4ac>0)，方程有兩個不同實根
- 若 (b^2-4ac=0)，方程有一個重複實根；若 (b^2-4ac<0)，則沒有實根
一元二次方程是甚麼？
Quadratic Equation 的基本形式
一元二次方程英文是 Quadratic Equation，最常見標準形式為：
(ax^2+bx+c=0)
當中 (a)、(b)、(c) 是常數，而 (a\neq0)。如果 (a=0)，方程就不再是二次方程，而會變成一次方程。
例如以下都是一元二次方程：
(x^2+5x+6=0)
(2x^2-3x-5=0)
(x^2-4=0)
這類方程的最高次方是 2，所以通常會有最多兩個根。所謂「根」，就是令方程成立的 (x) 值。
為甚麼一元二次方程重要？
一元二次方程不只是考試中的代數題，亦與圖像、函數、拋物線、最大值、最小值及實際應用題有關。例如物件拋物線運動、面積問題、利潤最大化和幾何題，都有機會用到 quadratic equation。
對學生來說，學好一元二次方程，可以幫助之後理解二次函數、坐標幾何和進階代數題。這也是為甚麼根之和、根之積、配方法和判別式都需要掌握，而不是只懂代入公式。
一元二次方程解法一：因式分解
因式分解適合簡單整數根題目
因式分解是最基本的一元二次方程解法。如果方程可以拆成兩個一次因式，就可以快速找出根。
例如：
(x^2+5x+6=0)
可分解成：
((x+2)(x+3)=0)
所以：
(x+2=0) 或 (x+3=0)
因此：
(x=-2) 或 (x=-3)
這種方法適合根是整數，或者方程容易分解的題目。考試中如果見到係數簡單，通常可以先嘗試因式分解。
因式分解時要留意符號
不少學生在因式分解時會出錯，尤其是正負號。例如：
(x^2-x-6=0)
要找兩個數相乘等於 (-6)，相加等於 (-1)。答案是 (-3) 和 (2)，所以：
((x-3)(x+2)=0)
因此：
(x=3) 或 (x=-2)
如果符號看錯，答案就會完全不同。做因式分解時，最好分開檢查「相乘是否等於 (c)」和「相加是否等於 (b)」。
一元二次方程解法二：公式法
一元二次方程公式
當方程較難因式分解，或者根不是整數時，可以使用公式法。對於：
(ax^2+bx+c=0)
方程的根為：
(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a})
公式法的好處是適用範圍廣，只要知道 (a)、(b)、(c) 的值，就可以直接代入計算。
公式法例子
例如：
(2x^2-3x-5=0)
當中 (a=2)、(b=-3)、(c=-5)。
代入公式：
(x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4(2)(-5)}}{2(2)})
(x=\frac{3\pm\sqrt{9+40}}{4})
(x=\frac{3\pm7}{4})
所以：
(x=\frac{10}{4}=\frac{5}{2})
或：
(x=\frac{-4}{4}=-1)
因此方程的根是：
(x=\frac{5}{2}) 或 (x=-1)
公式法常見錯誤
學生使用公式法時，最常見錯誤是代錯 (b) 的符號。例如 (b=-3) 時，(-b) 應是 (3)，而不是 (-3)。另外，計算 (b^2-4ac) 時，也要特別小心負數相乘。
建議代入公式前，先清楚寫出 (a)、(b)、(c) 的值，避免直接心算而出錯。
根之和與根之積
根之和公式
如果一元二次方程：
(ax^2+bx+c=0)
的兩個根為 (\alpha) 和 (\beta)，則：
(\alpha+\beta=-\frac{b}{a})
這就是根之和公式。它可以幫助我們不用直接求出兩根，也能知道兩根相加的結果。
例如：
(2x^2-7x+3=0)
當中 (a=2)、(b=-7)、(c=3)。
根之和為：
(\alpha+\beta=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2})
根之積公式
同一條方程中，兩根之積為：
(\alpha\beta=\frac{c}{a})
例如：
(2x^2-7x+3=0)
根之積為：
(\alpha\beta=\frac{3}{2})
根之和與根之積經常用於求未知係數、建立新方程，或處理與兩根有關的代數式。
如何用根之和及根之積建立方程？
如果已知一個二次方程的兩根是 (\alpha) 和 (\beta)，而根之和為 (S)，根之積為 (P)，則方程可以寫成：
(x^2-Sx+P=0)
例如兩根之和是 5，兩根之積是 6，則方程為：
(x^2-5x+6=0)
這個技巧在考試中很常見，尤其是題目要求根的關係，而不是直接求根時。
根之和與根之積常見應用
根之和與根之積可以用來處理以下題型：
求兩根的和與積、求未知數 (k)、建立以新根為根的方程、計算 (\alpha^2+\beta^2)、(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}) 等代數式。
例如：
(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta)
如果已知根之和與根之積，就可以不用逐一求出 (\alpha) 和 (\beta)，直接計算相關表達式。
配方法 Completing the Square
配方法是甚麼？
配方法英文是 Completing the Square，是把二次式改寫成平方形式的方法。例如：
(x^2+6x+5)
可先處理 (x^2+6x)：
(x^2+6x=(x+3)^2-9)
所以：
(x^2+6x+5=(x+3)^2-9+5=(x+3)^2-4)
這種形式可以幫助我們解方程、求頂點、求最值，以及理解二次函數圖像。
用配方法解一元二次方程
例如：
(x^2+6x+5=0)
先配方：
((x+3)^2-4=0)
移項：
((x+3)^2=4)
開平方：
(x+3=\pm2)
所以：
(x=-3\pm2)
即：
(x=-1) 或 (x=-5)
係數不是 1 時怎樣配方？
如果 (x^2) 前面係數不是 1，要先抽出係數。例如：
(2x^2+8x+3=0)
先把前兩項抽出 2：
(2(x^2+4x)+3=0)
然後配方：
(x^2+4x=(x+2)^2-4)
所以：
(2[(x+2)^2-4]+3=0)
(2(x+2)^2-8+3=0)
(2(x+2)^2-5=0)
之後便可以繼續解方程。
配方法有甚麼用途？
配方法不只是另一種解方程方法，它亦常用於二次函數。例如：
(y=x^2+6x+5)
可寫成：
(y=(x+3)^2-4)
由此可見拋物線頂點為 ((-3,-4))，最低值為 (-4)。因此，配方法在二次函數、最大值與最小值題目中十分重要。
判別式 Discriminant
判別式是甚麼？
對於一元二次方程：
(ax^2+bx+c=0)
判別式為：
(\Delta=b^2-4ac)
判別式可以用來判斷方程根的情況，而不一定要直接解出根。
判別式與根的數量
判別式有三種情況：
當 (\Delta>0)，方程有兩個不同實根。
當 (\Delta=0)，方程有一個重複實根。
當 (\Delta<0)，方程沒有實根。
例如：
(x^2-4x+4=0)
當中 (a=1)、(b=-4)、(c=4)。
(\Delta=(-4)^2-4(1)(4)=16-16=0)
所以方程有一個重複實根。
判別式常見考法
判別式常用於含參數題目。例如題目可能會問：求 (k) 的範圍，使方程有兩個不同實根、沒有實根或有重複根。
這類題目重點不是解方程，而是根據條件設定不等式。例如若方程有兩個不同實根，就要令：
(b^2-4ac>0)
若方程有重複根，就要令：
(b^2-4ac=0)
若方程沒有實根，就要令：
(b^2-4ac<0)
學生要先看清題目要求，再決定用哪一個條件。
一元二次方程與二次函數圖像
方程的根與 x 軸交點
一元二次方程和二次函數圖像有密切關係。對於：
(y=ax^2+bx+c)
如果令 (y=0)，就會得到：
(ax^2+bx+c=0)
所以，一元二次方程的根，其實就是拋物線與 (x) 軸的交點。
如果方程有兩個不同實根，圖像會與 (x) 軸相交兩次；如果有一個重複根，圖像會剛好觸碰 (x) 軸；如果沒有實根，圖像就不會與 (x) 軸相交。
判別式與圖像關係
判別式可以直接反映圖像情況：
(\Delta>0)：拋物線與 (x) 軸有兩個交點。
(\Delta=0)：拋物線與 (x) 軸有一個切點。
(\Delta<0)：拋物線與 (x) 軸沒有交點。
這個概念在坐標幾何和二次函數題目中很常見，特別是需要判斷交點數目或參數範圍時。
一元二次方程常見錯誤
忘記 (a\neq0)
一元二次方程必須有 (x^2) 項，亦即 (a\neq0)。如果題目中有參數，例如 ((k-1)x^2+3x+2=0)，就要留意 (k-1\neq0)，即 (k\neq1)。
如果忽略這一點，可能會錯誤地把一次方程當成二次方程處理。
公式法代錯符號
公式法中最容易出錯的是 (-b) 和 (b^2-4ac)。如果 (b) 或 (c) 是負數，計算時一定要加括號。
例如 (b=-5)，則 (b^2=(-5)^2=25)，而不是 (-25)。
判別式條件用錯
題目問「兩個不同實根」時，應使用 (\Delta>0)；問「重複根」時，使用 (\Delta=0)；問「沒有實根」時，使用 (\Delta<0)。
很多學生會把「有實根」和「有兩個實根」混淆。若題目只說「有實根」，通常代表 (\Delta\geq0)。
配方法漏加漏減
配方法要保持式子相等，所以加了一個數後，必須同時減去同一個數。例如：
(x^2+8x)
應寫成：
((x+4)^2-16)
不能只寫成 ((x+4)^2)，否則整個式子的值已經改變。
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一元二次方程常見問題
一元二次方程是甚麼？
一元二次方程是只含一個未知數，而且最高次方為 2 的方程，標準形式是 (ax^2+bx+c=0)，其中 (a\neq0)。
Quadratic Equation 有哪些解法？
常見解法包括因式分解、公式法、配方法和圖像方法。若方程容易分解，可先用因式分解；若較複雜，則可用公式法或配方法。
根之和公式是甚麼？
若一元二次方程 (ax^2+bx+c=0) 的兩根為 (\alpha)、(\beta)，則根之和為 (\alpha+\beta=-\frac{b}{a})。
根之積公式是甚麼？
若一元二次方程 (ax^2+bx+c=0) 的兩根為 (\alpha)、(\beta)，則根之積為 (\alpha\beta=\frac{c}{a})。
配方法有甚麼用途？
配方法可用來解一元二次方程，也可把二次函數改寫成頂點形式，方便求頂點、最大值或最小值。
判別式是甚麼？
判別式是 (b^2-4ac)，用來判斷一元二次方程根的情況。它可以告訴我們方程有兩個不同實根、一個重複實根，還是沒有實根。
判別式大過零代表甚麼？
若 (b^2-4ac>0)，方程有兩個不同實根，對應圖像會與 (x) 軸有兩個交點。
判別式等於零代表甚麼？
若 (b^2-4ac=0)，方程有一個重複實根，對應圖像會剛好觸碰 (x) 軸。
判別式小過零代表甚麼？
若 (b^2-4ac<0)，方程沒有實根，對應圖像不會與 (x) 軸相交。
考試應該先用哪一種方法解一元二次方程？
如果方程容易因式分解，通常先用因式分解最快；如果不能簡單分解，可用公式法。若題目涉及頂點、最大值、最小值或二次函數圖像，配方法會較有用。
